Показательный (экспоненциальный закон распределения).
Случайная величина Х распределена по показательному закону распределения с параметром λ, если её плотность вероятности имеет вид:
Функция распределения имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия для случайной величины, распределенной по показательному закону, находятся по формулам:
, 
То есть при 
Пример.
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону.
Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
Решение:
По условию математическое ожидание M(х)=1/λ = 15, откуда параметр λ = 1/15. Тогда плотность вероятности и функция распределения примут вид:
Искомую вероятность P(Х ≥20) можно было найти по формуле, интегрируя плотность вероятности, то есть
но проще это сделать, используя функцию распределения:
Найдем среднее квадратическое отклонение: σ(X) = М(Х) = 15 дней.
Источник
Показательный (экспоненциальный закон распределения)
Случайная величина Х распределена по показательному закону распределения с параметром λ, если её плотность вероятности имеет вид:
Функция распределения имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия для случайной величины, распределенной по показательному закону, находятся по формулам:
То есть при 
Пример.
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону.
Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.
Решение:
По условию математическое ожидание M(х)=1/λ = 15, откуда параметр λ = 1/15. Тогда плотность вероятности и функция распределения примут вид:
Искомую вероятность P(Х ≥20) можно было найти по формуле, интегрируя плотность вероятности, то есть
но проще это сделать, используя функцию распределения:
Найдем среднее квадратическое отклонение: σ(X) = М(Х) = 15 дней.
Равномерный закон распределения.
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения (закон постоянной плотности) на отрезке [a; b], если на этом отрезке функция плотности вероятности случайной величины постоянна, то есть
Следовательно, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке (a, b), равняется середине этого отрезка.
Дисперсия имеет вид:
Найдем вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал 
, принадлежащий целиком отрезку [a, b]:
Функция распределения примет вид:
Пример.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты.
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
Решение:
Случайная величина X – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения f (x)=1/2.
Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна 1/4 от равной единице площади прямоугольника, т.е.
Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:
Источник
Экспоненциально распределенная случайная величина
На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.
Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:
Функция распределения величины $X$:
Здесь $\lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/\lambda$, $D(X)=1/\lambda^2$.
Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $\lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.
В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.
Примеры решений
Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.
Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?
Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $\lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.
Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^<-2t>$ при $t\ge 0$ и $f(t)=0$ при $t\lt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.
Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.
Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.
Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^<-3x>$ при $x \gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Задача 8. Непрерывная случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону с параметром $\lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $\xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $\xi$ и вероятность того, что $\xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.
Задача 9. Случайная величина $\xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_<\xi>$, $D_<\xi>$ вероятность попадания $\xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $\xi$.
Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(\lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | \lt 3\sigma$ («правило $3\sigma$» для показательного распределения).
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
Источник
Решение задач по теории вероятности
Главная > Реферат >Математика
Пусть случайные величины Х = т и Y = n имеют законы распределения Пуассона соответственно с параметрами λ 1 и λ 2 . В силу независимости случайных величин X и Y их сумма Z = X + Y принимает значение Z = s с вероятностью
Полагая, что λ = λ 1 + λ 2 , и учитывая, что
т.е. случайная величина Z = X + Y распределена по закону Пуассона с параметром λ = λ 1 + λ 2
Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.
Случайная величина X – число проверенных деталей до обнаружения бракованной – имеет геометрическое распределение (4.11) с параметром р =0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид
В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие 3, 4, 5 и 6 видов спорта из отобранных случайно 6 видов из 45 (размер приза увеличивается с увеличением числа угаданных видов спорта). Найти закон распределения случайной величины X – числа угаданных видов спорта среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
Число угаданных видов спорта в лотерее «6 из 45» есть случайная величина, имеющая гипергеометрическое распределение с параметрами п = 6, М = 6, N = 45. Ряд ее распределения, рассчитанный по формуле (4.14), имеет вид:
Вероятность получения денежного приза
Таким образом, среднее число угаданных видов спорта из 6 всего 0,8, а вероятность выигрыша только 0,024.
Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.
Случайная величина X – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения φ ( x )=1/2.
Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна 1/4 от равной единице площади прямоугольника (рис. 4.3), т.е.
Доказать, что если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время т, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т 1 = Т – х промежутка, т.е. закон распределения Т 1 остается таким же, как и всего промежутка Т.
Пусть функция распределения промежутка Т определяется по формуле (4.22), т.е. F( t ) = 1– e -λ t , а функция распределения оставшейся части T 1 = Т– τ при условии, что событие Т > τ произошло, есть условная вероятность события Т 1 t относительно события Т > τ , т.е. F 1 ( t ) = Р T >х ( T 1 t ).
Так как условная вероятность любого события B относительно события А
P A ( B ) = P ( AB ) / P ( A ),
то, полагая А = ( Т > τ), B = ( T 1 t ), получим
Произведение событий ( Т > τ) и T 1 = Т– τ t равносильно событию τ Т t + τ, вероятность которого
P(τ t + τ) = F ( t + τ) – F (τ).
Так как P( Т > τ) = 1 – P( Т ≤ τ) = 1 – F (τ), то выражение (4.25) можно представить в виде:
Учитывая (4.22). получим
Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X , распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X .
По условию математическое ожидание М(х)= 1/λ = 15, откуда параметр λ — 1/15 и по формулам (4.21) и (4.22) плотность вероятности и функция распределения имеют вид:
Искомую вероятность Р ( Х ≥ 20) можно было найти по формуле (3.22), интегрируя плотность вероятности, т.е.
но проще это сделать, используя функцию распределения:
Осталось найти среднее квадратическое отклонение σ х = М ( Х ) = 15 дней.
Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величинах X c параметрами а = 173 и λ 2 = 36, найти:
1. а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины X ;
б) доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы;
в) квантиль x 0,7 и 10%-ную точку случайной величины X .
2. Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины X .
а) По формулам (4.26) и (4.30) запишем
б) Доля костюмов 4-го роста (176 – 182 см.) в общем объеме производства определится по формуле (4.32) как вероятность
(рис. 4.13), так как по (4.33)
Долю костюмов 3-го роста (170–176 см) можно было определить аналогично по формуле (4.32), но проще это сделать по формуле (4.34), если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а = М(Х) =173, т.е. не равенство
170 X 176 равносильно неравенству | Х — 173| ≤ 3 :
в) Квантиль X 0,7 случайной величины X найдем из уравнения (3.29) с учетом (4.30):
По табл. II приложений находим t = 0,524 и
Х 0,7 = 6*t + 173 = 6*0,524 + 173 ≈ 176 (см).
Это означает, что 70% мужчин данной возрастной группы имеют рост до 176 см.
10%-ная точка – это квантиль X 0,9 = 181 см (находится аналогично), т.е. 10% мужчин имеют рост не менее 181 см.
2. Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от a-3σ = 173-3*6 = 155 до a + 3σ = 173 + 3*6 = 191 (см), т.е. 155 ≤ Х ≤ 191 (см).
Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины.
По данным примера 4.11 найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли (частости) выигравших облигаций среди приобретенных. Составить функцию распределения случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n и р.
Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Необходимо:
а) составить закон распределения отказавших за время t элементов;
б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;
в) определить вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.
Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо:
а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов;
б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;
Источник