После ремонта осталась плитка задача
После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 8 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 9 — тоже остается неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?
Запишите решение и ответ.
Поскольку при выкладывании по 8 и по 9 плиток в ряд прямоугольников не получается, а остаются неполные ряды, то количество плиток делится на 8 и на 9 с остатками.
Остаток от деления любого числа на 8 не может быть больше 7. По условию это число на 6 больше, чем остаток от деления на 9. Но остаток от деления на 9 тоже не равен нулю. Значит, остаток от деления на 8 может быть равен только 7. А остаток от деления на 9 равен 1.
Общее количество плиток меньше 100, иначе их хватило бы на квадратную площадку со стороной в 10 плиток. Среди чисел меньше 100 надо найти такое, которое делится на 8 с остатком 7 и на 9 с остатком 1. Проверив все числа в пределах 100, делящиеся на 9 с остатком 1, получим ответ: 55 плиток.
Допускается другая последовательность действий и рассуждений, обоснованно приводящая к верному ответу.
Источник
После ремонта осталась плитка задача
Какой алгоритм решения подобных задач?
После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватит. При укладывании по 8 плиток в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 9 плиток тоже остаётся неполный ряд, в котором на 6 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 8. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?
Ну вот в задаче были именно такие условия. Согласен, не идеальная формулировка, но подразумевается, что укладываем каждый раз квадратом: 10×10 (плиток не хватит), 9×9 (остаются лишние плитки), 8×8 (также остаются лишние).
Я уже нашел решение, только не могу его пока выразить формулами — буду благодарен, если поможете в этой части. Всё крутится вокруг поиска числа (= общее кол-во плиток), которое делится на 8 или на 9 с *определенным остатком*.
Ответ: 55 плиток
9х9 — остаются лишние, т.е. больше 81
Ответ 55
Эти два утверждения находятся в противоречии.
Что-то явно не так.
Источник
Как решить задачу про плитку за 5 класс?
После строительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания прямоугольной площадки на участке рядом с домом. если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. при укладывании по 6 плиток в ряд остается один неполный ряд, а при укладывании по 5 — тоже остается неполный ряд, в котором на 4 плитки меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 6. Сколько всего плиток осталось после строительства дома?
Правильным ответом на вопрос задачи по математике, будет число «11, 41, или 71». Да, действительно получается такой ответ, давайте разбираться вместе, так как задачка довольно-таки запутанная.
- Во-первых, из условия задачи мы поняли, что необходимо выкладывать по шесть плиток в ряд. Получаем следующее неравенство 6Х + 5 = 5У + 1. 6Х + 4 = 5У Ведь укладывая по десять плиток в ряд по квардатной плодадке, то плиток не будет хватать. Далее лучше используем все числа, которые дают в остатке пять при делении 100 на 6. Нам подходят 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 83, 89, 95.
- Во-вторых, Для того, чтобы выявить совпадения, теперь необходимо найти числа, которые дают в остатке один при делении 100 на 5. Сюда относим 6, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96. Как видим, найдено совпадение это число «41 и 71» — осталось плиток после строительства дома.
Если укладывая по 10 плиток в ряд, до квадратной площадки плиток не хватает, то значит всего осталось плиток меньше 100 штук.
значит при укладывании по 6 плиток в неполном ряду будет 5 плиток, а при укладывании по 5 плиток в неполном ряду будет только одна плитка, других вариантов нет.
Если при укладывании по 6 плиток в ряд получилось Х полных рядов, а при укладывании по 5 плиток в ряд — У полных рядов, то можно составить равенство
Такое возможно при Х заканчивающимся на 1 или 6
С другой стороны
Пусть F — это плитки по 5 штук в ряд, а W — плитки по 6 штук в ряд.
При укладывании плиток F в неполном ряду будет на 4 плитки меньше, чем в неполном ряду при укладывании W. Другими словами, при укладывании W в неполном ряду будет на 4 плитки больше, чем в неполном ряду при укладывании F.
Но в неполном ряду W может быть не более 5 плиток, а в неполном ряду F должна быть как минимум одна плитка.
Следовательно в неполном ряду W будет минимум может быть 1+4=5 плиток. А поскольку больше плиток в неполном ряду быть не может, то их количество равно 5.
Тогда в неполном ряду F на 4 плитки меньше, а 5-4=1.
Пусть количество полных рядов W будет х, а количество полных рядов W — это у.
Тогда получим уравнение:
Поскольку «х» — это целое число, то «у» должно заканчиваться на 1 или 6, в ином случае получается дробь.
1) Из того, что «. если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает..», следует, что плиток менее 100.
2) Из того, что «. при укладывании по 5 плиток остается неполный ряд» следует, что в э
том варианте остаётся от 1 до 4 плиток.
3) Из того, что «. при укладывании по 5 — остается неполный ряд, в котором на 4 плитки меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 6. » с учётом пункта 2, следует, что при укладывании по 6 плиток, должно оставаться от (1+4) до (4+4), т.е. от 5 до 8 плиток. Но существует единственное число, которое больше 4, и меньше 6, и это число — 5.
Значит при раскладывании по 6 плиток, остаётся 5 лишних, а при раскладывании по 5 плиток — 1 лишняя.
Пусть при раскладывании по 6 плиток в ряд, получается х рядов, а при раскладывании по 5 плиток в ряд у рядов. Тогда 6х+5=5у+1, 6х+4=5у, у=1,2х+0,8. Поскольку у — целое число, то произведение 1,2*у должно быть дробным числом, заканчивающимся на . 2.
х=6, у=1,2*6+0,8=8, количество плиток 41.
х=11, у=1,2*11+0,8=14, количество плиток 71,
х=16, у=1,2*16+0,8=20, количество плиток равно 101. Этот вариант не подходит, так как количество плиток меньше 100.
Но, просматривая варианты, можно для общности добавить ещё 1 вариант: х=1, у=2, количество плиток 11.
Конечно, при раскладывании 11 плиток по 6 плиток в ряд, получится всего лишь один ряд, но формально этот вариант тоже является решением.
Итак, плиток могло остаться либо 11, либо 41, либо 71.
Эта задача — переделка старой известной, где плитки укладывали по 8 и по 9. Та задача имела одно решение. Тут есть два возможных решения. Думаю, потому что в одном случае укладывали по 5 плиток.
Итак. Плиток меньше 100, это понятно. При укладке по 5 неполный ряд состоит из 1 плитки, ибо максимальное количество плиток в неполном ряду при укладке по 6 равно 5 плиткам.
Соответственно, нам нужны все числа, которые дают в остатке 5 при делении 100/6. Это:
11,17,23,29,35,41,47 ,53,59,65,71,79,83,89 ,95 (100 не включаем)
И все числа, которые дают в остатке 1 при делении 100/5. Это:
6,16,21,26,31,36,41, 46,51,56,61,66,71,76, 81,86,91,96
Как видим, два совпадения: 41 и 71.
Оба решения удовлетворяют. Но поскольку при укладке по 10 до квадратного участка не хватает, 71 более уместно, ибо при 41 не хватает не только до квадрата, но и до прямоугольника 10х5.
Для решения задачи предлагаю разделить ее на две части.
1) Узнаем, сколько плиток в последнем ряду 6-ти плиточной дорожки: их там может быть только 1, поскольку в условии говорится, что на 4 меньше, чем в 5-ти плиточной (если взять цифру 4, ряд окажется пустой, если 6 — полный).
2) Теперь нам нужно узнать, сколько полных рядов выложено. Для этого нужно вспомнить правила делимости на 5 и на 6 и найти два числа (до 100), отличающиеся друг от друга на 4 (количество «лишних» плиток) и делящиеся без остатка на 6 и 5. Это 36 и 40. Следовательно, мы имеем 6 полных рядов по 6 плиток или 5 полных рядов по 8.
3) Далее просто: 6*6+5=41, или 5*8=1=41
Примем планируемую скорость велосипедиста за х км/час.
Скорость с которой ехал велосипедист реально, будет равна (х + 2) км/час.
Находим время, которое планировалось потратить велосипедисту на путь, 15/х ( час)
Находим время, которое потратил велосипедист на путь, 15/х+2 (час).
Переводим минуты в часы: 15 мин = 1/4 час.
15/х — 15/х+2 = 1/4, решаем;
Приводим к общему знаменателю, ищем дополнительные множители, умножаем на них, получаем:
60х + 120 — 60х =х(х+2),
получили квадратное уравнение, находим его корни. Для решения задачи подходит только положительный корень,
х = 10 (км/час) — с такой скоростью планировал ехать велосипедист.
10 + 2 = 12 (км/час) — с такой скоростью ехал велосипедист.
Ответ: 12 км/час скорость велосипедиста.
Проверка: 15/10 — 15/12 = 1/4 (час).
Для начала поставим эти книги на полку и посмотрим на них: первый том слева, посередине второй и справа третий. Внимание! Для решения задачи важно, что книги написаны шрифтом справа-налево!
Представим ползущего и грызущего червя.
Где расположена страница первого тома? Очевидно, что сразу под передней обложкой. Смотрим на первый том: очевидно, что первая страница будет с правого края, то есть червяк начал свой путь оттуда. Полез он вправо и прогрыз переднюю обложку первого тома — это путь в 1 мм, согласно условию.
Если предположить, что червяк двигался по прямой к третьему тому, то он прогрыз весь второй том насквозь вместе с передней и задней обложками. Согласно условию, это путь в 15 мм (обложка, не забудем, входит в толщину тома).
Червяк дошел до последней страницы третьего тома. Где она находится, эта страница? Очевидно, что сразу под задней обложкой, не так ли? Кто усомнился, пусть поставит любые три книги рядом на полку, затем снимет третий том и откроет его — сразу будет видно,, где последняя страница.
Итак, согласно условию, червяк дошел до последней страницы третьего тома. То есть он прогрыз только заднюю обложку третьего тома, а это путь в 1 мм.
В результате получаем такой путь: 1 мм передней обложки первого тома, 15 мм второго тома и 1 мм задней обложки третьего тома. Итого 17 мм.
1) Первое действие ( Находим сколько блюдец в одной коробке) : 90:3=30 блюдец.
2) Второе действие ( Находим сколько блюдец в двух коробках) : 30*2=60 блюдец.
Ответ. В двух коробках разложено 60 блюдец.
В случае, когда в условии задания не требуется узнать точное значение числового выражения, окончательный результат прикидывают, то есть выполняют действия приблизительно. Такое решение называют ПРИКИДКОЙ РЕЗУЛЬТАТА ДЕЙСТВИЯ. Можно сказать, что это грубая оценка вычислений.
Например 16+33=49, что приблизительно равно 50.
Можно решить и так: 16=20, 33=30, 20+30=50.
Прикидку можно выполнить и тогда, когда результат действий вызывает сомнение.
Например: 2730*20+15168*40= 1152720 -чтобы проверить результат, округлим множители до тысяч и решим: 3000*20+15000*40=660000. Как мы видим, результат сильно отличается. Значит в первом случае вычисления были выполнены неверно.
В задачах на сплавы обычно даны массы исходных материалов (m1, m2, m3 и т.д, в кг; чаще всего это тоже сплавы). Насколько я понимаю, ОГЭ это после 9 класса, и задачи стандартные (не олимпиадные) поэтому вряд ли исходных сплавов больше 3, а чаще всего только 2. И, естественно, тем или иным образом заданы составы исходных материалов (обычно это %, выражающие массовые доли, если сплавы золота, то могут быть пробы (массовые промилле). Для тех, кто не знает, что такое промилле или проба, поясняю: это сколько граммов того или иного компонента содержится в смеси.
Ну и задана масса сплава (М) который нужно получить:
Общий алгоритм решения такой: Составляются материальные балансы, суммарный и по отдельным компонентам, которые составляют систему уравнений:
Здесь с1, с2, с3 (ci) — содержание i-го компонента в полученном сплаве,
с11, с21, с31, с21, с22, с32, с13, с23, с33 (в общем случае cij) — содержание j-го компонента в i-том исходном куске.
Часто задача ограничивается двумя исходными кусками (сплавами) и двумя компонентами, т.е. третьего куска материала или третьего компонента может и не быть).
В полученной системе уравнений количество уравнений больше числа неизвестных, т.е. одно уравнение лишнее, оно может быть получено из остальных путём линейных манипуляций.
И ещё нужно иметь в виду, что содержания компонентов должны быть выражены не в % или промилле, а в долях единицы, т.е. не 42 %, а 0,42 и т.п.
С задачами на растворы — сложнее. Если задачу составляли грамотные авторы, то и содержания компонентов и количества растворов выражаются правильно, либо в массовых единицах, либо если в объёмах, то через плотности объёмы пересчитываются в массы. Но, многие авторы задач (возможно неплохие математики, но плохие инженеры) часто не различают массы и объёмы, и смешивают массовые проценты с объёмами, что вообще-то говоря, недопустимо.
Ну, в остальном подход такой же. Иногда одной из исходных жидкостей является чистый растворитель (задачи на разбавление), но здесь ничего страшного, просто содержание самого растворителя равно 1, а остальных компонентов 0.
Источник